Álgebra Proposicional

El álgebra proposicional trata de determinar el valor de verdad de una combinación de  enunciados se basa en reglas análoga, en primer lugar diremos que un enunciado -oración- es una proposición si es posible asignarle uno de los siguientes valores:

• verdadero (V)
• falso (F)
  
  

EJEMPLO:

 las siguientes son proposiciones

• Hoy es lunes 
• Llueve
• 2+3=4
• 2+3=5

no es necesario conocer si una afirmación es verdadera o falsa (es decir, su valor de verdad) para saber si es una proposición.

Nuestro sencillo estudio de las proposiciones no tratara de establecer el valor de verdad de una proposición dada, lo que haremos es analizar el valor de verdad de las proposiciones complejas, construidas con ciertas reglas a partir de proposiciones simples conociendo el valor de verdad de estas ultimas.

SÍMBOLOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL:

Como ocurre en otras ciencias, es necesario en lógica utilizar un lenguaje simbólico especial que elimine los rasgos que no nos interesan y pongan de manifiesto los que sí nos interesan. En lógica nos interesa saber cómo están combinadas las proposiciones , y no nos interesa en absoluto su significado. Por ello necesitamos unos símbolos que, prescindiendo del significado de las proposiciones, nos indiquen la forma en que se combinan. Estos símbolos constituyen un lenguaje formal.

En primer lugar, las proposiciones atómicas pueden ser sustituidas por lo que llamaremos variables proposicionales, que serán las letras

p, q, r, s …

VALORES DE VERDAD:

-          Un enunciado  simple es siempre o bien verdadero  o bien falso, es decir, tiene un sólo valor de verdad.

-          El valor de verdad de un enunciado compuesto depende del valor de verdad de los enunciados simples que lo conforman y de la relevancia de los conectivos que intervienen según estén agrupados.

Los básicos son:

p	~p		p	~p
V	F		1	0
F	V		0	1

CONECTIVOS LOGICOS

A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas en lenguaje formal.

TABLAS DE VERDAD:

Tablas de verdad de las conectivas lógicas

Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

NEGACIÓN

Palabras conectivas: no, no es cierto que, no es verdad que, nunca, carece de, sin, etc.
Prefijos negativos: a, des, in, i.
Condición: lo V se transforma en F (y al revés) P -p








CONJUNCIÓN: 

Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, además, etc.
Condición: es V cuando ambas son V.

Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería"
Sean:
p= tiene gasolina el tanque
q = tiene corriente la batería
r = el auto enciende = p ^ q
La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no arrancará.

DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Una, otra o ambas a la vez. (y/o)

Palabras conectivas: o

Condición: es F cuando las dos son F.

Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene un pase"
Sean:
p= compra boleto
q = obtiene un pase
r = una persona entra al cine = p v q
La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede entrar al cine.

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

O una o la otra (NUNCA ambas juntas)
Palabras conectivas:
O ......... o .....
O bien .... o bien
.... a menos que ....
.... salvo que ......
Condición: es V cuando uno es V y el otro es F.

LA CONDICIONAL

Palabras conectivas: Si ..p.. entonces ..q.. Si ..p.. , ..q.. Cuando .......p............. , ......q.. Siempre ......p............. , ....q.. Es condición suficiente..p..para que..q.. .........q........ sólo si ......p....... Es condición necesaria...q..para que..p..

Condición: es falsa sólo si el antecedente (p) es V y el consecuente (q) es F.Ejemplo:
Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta" implica a la segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe

LA BICONDICIONAL

Palabras conectivas: si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es condición suficiente y necesaria para; etc.
Condición: son verdaderas si ambas proposiciones tienen el mismo "valor de verdad".

TAUTOLOGIAS, CONTRADICCION CONTIGENCIA Con cinco conectivas lógicas básicas se construyen proposiciones compuestas que pueden ser tautologías, contradicciones o contingencias. Si la tabla de verdad de la proposición es siempre verdadera, independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples, entonces la expresión es tautológica. Si la tabla de verdad es siempre falsa, será una contradicción. Si es verdadera y falsa, la proposición es una contingencia TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad  para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:  •CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:  •CONTINGENCIA: Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa,(combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso:  EJEMPLO:  p ^ q --> p p q p^q p^q-->p 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 TAUTOLOGÍA EQUIVALENCIA LOGICA  (º, Û ) Dos proposiciones P y Q en las mismas variables son equivalentes si y solamente si tiene la misma tabla de verdad. Se denota P º Q ó P Û Q y se lee: P equivale lógicamente a Q, ó P y Q son equivalentes, P si y sólo si Q, P es condición necesaria y suficiente para Q, Q es condición necesaria y suficiente para P. P º Q si y sólo si  P « Q es una T P º Q equivale a tener P Þ Q Ù Q Þ P LINKOGRAFIA http://huitoto.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/tablas_verdad.html http://anderstivogm.blogspot.com/2010/05/conectivos-logicos-y-tabla-de-verdad.html   http://www.academialap.com/Tablas_de_verdad_ejercicios_resueltos_I.html https://angelarendon.wordpress.com/2011/10/20/3-1-4-tautologias-contradiccion-y-contingencia-2/ cmap.upb.edu.co/rid=1153150359901...543/capitulo%20Logica.doc